بعضی از مسائل و قضایای مطرح در دنیای ریاضیات به‌رغم صورت بسیار ساده، از مسائل حل‌نشدنی ریاضیات محسوب می‌شوند. یکی از این مسائل حدس اثبات نشده‌ای است که در سال 1742 میلادی توسط کریستسان گلدباخ، ریاضیدان و تاریخ شناس اهل پروس مطرح شد. براساس حدس گلدباخ، هر عدد بزرگتر از پنج را می توان همواره به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.

لئونارد اویلر، ریاضیدان برجسته‌، با بررسی حدس ‌گلدباخ دریافت که این حدس را می‌توان به صورت دیگری نیز مطرح کرد؛ صورتی ظاهرا متفاوت که در واقع به لحاظ ریاضی با بیان گلدباخ هم‌ارز است و اصطلاحا به آن حدس قوی گلدباخ می‌گویند. براساس بیان حدس قوی گلدباخ هر عدد زوج بزرگتر از دو را همواره می توان به صورت جمع دو عدد اول نوشت.

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5

اکنون که بیش از 270 سال از مطرح شدن این حدس می‌گذرد حتی با قوی ترین ابررایانه ها هم هیچ مورد نقضی که صحت این حدس را زیر سوال ببرد، پیدا نشده‌است. اما با این‌حال هنوز هیچ ریاضیدانی موفق به اثبات این حدس نشده است. بدین ترتیب اثبات درستی حدس گلدباخ به یکی از چالش‌های مهم پیش روی ریاضیدانان بدل شده است. بیست سال پیش یعنی 1992 موسسه انتشاراتی مشهور Faber & Faber کتاب داستانی پرفروشی را با عنوان عموپتروس و حدس گلدباخ منتشر کرد که در آن تاریخ ریاضیات در قالب جذاب و داستانی شرح داده است. چند سال بعد از انتشارات مزبور به منظور تبلیغ برای فروش بیشتر کتاب جایزه‌ای یک میلیون دلاری را برای کسی که از تاریخ 20 مارس 2000 حداکثر به مدت دو هفته موفق به اثبات حدس گلدباخ شود تعین کرد اما تا اتمام تاریخ مقرر و پس از آن تا‌زمان کنونی هم هنوز هیچ ریاضیدانی از اثبات این حدس به ظاهر آسان بر‌نیامده است. در سال 2008 توماس اولیوریااسیلوا، پژوهشگر دانشگاه اویرو در پرتغال، با کمک یک سیستم ابررایانه توزیع یافته توانست صحت حدس گلدباخ را تا 1017 ×18 نشان دهد. به تازگی ابررایانه‌های آزمایشگاه عظیم فیزیک ذرات بنیادی اروپا (سرن) هم وارد این میدان شدند تا صحت حدس گلدباخ را برای اعداد بزرگتر باز هم محک بزنند. البته هر چقدر هم که ابررایانه-ی قوی‌تر را در اختیار داشته باشیم باز هم قادر نخواهیم بود درستی حدس گلدباخ را برای تمامی اعداد بررسی کنیم و درنهایت چاره‌ای جز تلاش برای درستی این حدس نداریم.

تلاش های اثبات حدس گلدباخ

در سال 1966 یک ریاضیدان چینی به نام چن‌جینگ‌ران، توانست ثابت کند که هر عدد زوج به اندازه‌ی کافی بزرگ را می‌توان به صورت مجموع یک عدد اول و عدد دیگری که برابر حاصل ضرب دو عدد اول است نوشت. بدین ترتیب بشر یک گام به اثبات درستی حدس گلدباخ نزدیک‌تر شد. در سال 1995 هم یک ریاضیدان فرانسوی به نام اولیور رامار، ثابت کرد که هر عدد زوج بزرگتر یا مساوی 4 را می‌توان به صورت مجموع شش عدد اول نوشت. در سال ۱۹۳۱ اشنیرلمان (۱۹۰۵-۱۹۳۸) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود، موفقیت مهمی در این زمینه به‌دست آورد که برای همه متخصصان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر ۳۰۰۰۰۰ عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات انگاره‌ی گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی این نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند. بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی‌، لیتلوود و همکار هندی برجسته آن‌ها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد‌، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از ۳۰۰۰۰۰ به چهار کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیک‌تر است، ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان ۳۰۰۰۰۰ و ۴ باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح به اندازه کافی بزرگ ثابت شده است؛ به بیان دقیق‌تر، او ثابت کرد عدد صحیح N وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر ۴ عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و برخلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است.

در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر چهار عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو‌به‌رو هستیم. در ۱۹۱۹ ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل‌ ضرب حداکثر ۹ عدد اول هستند. در ۱۹۳۷ ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع دو عدد است که یکی حاصل‌ ضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصل‌ ضرب حداکثر ۳۶۶ عدد اول است. کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج به‌قدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد اول است. در ۱۹۴۸ آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد که هر عدد زوج به‌قدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c که عددی ثابت و مجهول است ، عدد اول است. در ۱۹۵۷، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد هر عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ، مجموع یک عدد اول و حاصل‌ ضرب حداکثر سه عدد اول است. در ۱۹۶۱ باربن نشان داد که c = 9 برای این منظور کفایت می‌کند. در ۱۹۶۲، پان چنگ دونگ این مقدار را به c = 5 کاهش داد. مدت کوتاهی پس از آن باربن و پان، مستقل از هم، ‌آن را به c = 4 کاهش دادند. در ۱۹۶۵ بوخشتاب این قضیه را به ازای c = 3 کاهش داد. در ۱۹۶۶، چن‌جینگ‌ران، روش غربال را بهتر کرد و قضیه را به ازای c = 2 ثابت کرد.

غلامرضا پورقلی